比例的妙用有哪些？

比和比例的主要内容包括比的意义和性质；比例尺；按比例分配以及正比例、反比例。 一、基础知识 1.比的意义和基本性质 两个数相除又叫做两个数的比。 树棵数的比是17比11，柳树与杨树棵数的比是11比17。 可见，“比”是对两个数进行比较的一种方法（表示两个数相除的关系），它与两个数之间比较多与少的关系不同（这是两个数相差关系），它与球类比赛中的“几比几”的含义也不相同。这在理解比的意义时绝不能混淆。 若用a与b表示两个数，用q表示a与b的比，那么a∶b=q，“∶”是比号，a则叫做比的前项，b叫做比的后项，q叫做比值。比的前项与后项不可任意颠倒。在a≠b的情况下，a∶b和b∶a是完全不同的两个比（b∶a是a∶b的反比）。 两个量相比时，这两个量可以是同类量，也可以是不同类量。两个同类量相比，如果要把它们转化成两个数相比的时候，要先把这两个量化成同级单位的数然后相比；两个不同类的量相比，要求“比”一定要有实际意义，决不是任意两个量都可以相比。例如，“走15千米的路，用了3小时”，写成路程与时间的比就是15∶3，比值是5，表示每小时行5千米，是速度。不同类量的比就产生了一个新的量。又如，“甲有8支铅笔，乙有2本课外书”，它们之间就不能相比，因为它们之间没有联系，比也没有实际意义。 比与除法，与分数既有联系，又有区别 根据除法里商不变的性质和分数的基本性质，可以得到比的基本性质：比的前项和后项都乘以或都除以相同的数（零除外），比值不变。我们可以利用比的基本性质化简比。 2.比例尺 图上距离与实际距离的比，就叫做比例尺，可以写成： 从上面的式子可以看出，图距相当于比的前项，实距相当于比的后项，比例尺相当于比值。根据这一关系，可以求出其中任何一个未知项。 比例尺不是我们通常说的那种“尺子”，不是具体的度量长度的工具，而是一个比，因此，它没有计量单位。在实际应用中，比例尺的前项（表示图距的项）一般都化成“1”。例如，我们在地图上见到的比例尺有1：1000000 距离放大一定的倍数得出的，它的比例尺的后项一般为“1”，例如有一幅精密仪表图比例尺是20∶1。 3.按比例分配 把一个数量按一定比例分成几个部分，叫做按比例分配。这个“数量”必须是这几个部分的总和。这“几部分”之间的比等于一个定比，在小学只学习“正比例分配问题”。 例如，有400本图书，按照3∶2分配给甲乙两所学校。问这两所学校各分得图书多少本？ 这道题中的分配比是3∶2，表示甲校占3份，乙校占2份，它们的总数是400本。在解题时，基本思路是与“求一个数的几分之几是多少”的应用题相同，只是没有直接给出每一部分各占总数的几分之几而已。 4.比例的意义和基本性质 表示两个比相等的式子叫做比例。 例如：3∶2=1.5，9∶6=1.5，则这两个比可组成比例为： 比和比例是两个不同的概念。比表示两个数相除的关系，有前项，后项； 两个内项，a，d叫外项，b，c叫内项，任意两个数都可以相比（只要零不作后项），但是并非任意4个数都可以成比例。 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这就是比例的基本性质。 即，若a∶b=c∶d，则ad=bc。 根据比例的基本性质，可以解比例，求出比例中任意一个未知项。 5.正比例和反比例的意义 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量就叫做成正比例的量，它们之间的关系叫做正比例关系；如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系。 价”一定，也就是总价与数量的比值一定，则总价与数量成正比例。 又如：速度、时间和路程三种量之间的关系是，速度×时间=路程。如果“路程”一定，也就是速度与时间的积一定，则速度与时间成反比例。 用公式概括这种数量关系，即xy=k（一定）。 6.正比例与反比例应用题 有些应用题里的两种量是成正比例或反比例关系的，可以用比例方法解。比例方法实际上也是列方程的解法。解题时要在认真审题的基础上，按下面的步骤进行： （1）分析、判断两种相关联的量成什么比例。 （2）设未知数x，根据比例关系列出比例式。 （3）解比例。 （4）验算、答题。 二、比例知识的应用 1.比的应用 在日常生活中，比的知识有广泛的应用，主要有以下几方面： （1）比例尺 在绘制地图、建筑设计平面图或机器零件设计图时，需要把实际长度缩小（或者扩大）一定的倍数，这就要按实际需要确定比例， 分析：这是根据比例尺和图距，求实距，再依据实距与比例尺求图距的问题。 ∵图距实距=比例尺 解：①设两地实际距离为x厘米 x=35×4000000 x=140000000 ②设两地图上距离为x厘米 （2）按比例分配 乙校与丙校植树棵数的比是4∶5，甲校比丙校少植树64棵。甲、乙、丙三校各植树多少棵？ 分析：这道应用题没有直接告诉三校总共植树多少棵，而这又是解答全题的关键数量，必须全力先求出来。 （丙校植的树占总数的份数）。 甲校比丙校少植树64棵，它们占总数的份数差为 再分别求出甲、乙、丙三校各自植树多少棵。 答：从略。 解答按比例分配问题时，要十分注意求出的部分量是谁的，千万不能张冠李戴。 （3）求两个量之间的倍数关系。 这类题与前两类题的区别在于，前两类题所要求的都是实际数量，而这类题所要求的是两个量之间的倍数关系。在解题思路上与“求一个数是另一个数的几分之几”相似。 例3 有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白两色棋子，第 把三堆棋子集中在一起，问白子占全部棋子的几分之几？ 解法1 设全部棋子数为“1”。 分析：依题意，若调换第一、二堆中的黑、白子，则第一堆中全是白子，第二堆中全是黑子，且棋子数相等。因此，第一堆、第二堆里黑子总数占全部 解法2 设每一堆棋子数为“1”，又设第三堆里的黑子占一堆数中的份数是x。我们可以依据第一堆和第二堆里的黑子与第三堆里的黑子数相比，写成比例式： 比是： 答：从略。 2.比例的应用 用比例方法解答应用题，首先要正确判断题中给定的数量关系是成正比例的关系，还是成反比例的关系；还要抓住对应关系。 例4有一只挂钟，每走一昼夜快5分种，挂钟在上午10时对准，走到第二天早晨时时针走到6时，这时的准确时间是几时？ 解：准确的钟走一昼夜的时间合多少“分”？ 60×24=1440（分） 题中的挂钟走一昼夜的时间是多少“分”？ 60×24+5=1445（分） 从上午10时，到第二天6时，挂钟走的时间是多少“分”？ 60×20=1200（分） 假设挂钟走1200分时，准确的钟走x分，则走过的时间与挂钟的误差成正比例。 即1445∶1440=1200∶x 例5一根木料长2米，锯成每段长0.5米的，需要4小时30分；如果要锯成每段长40厘米的，需要多少时间？ 解：木料长2米，锯成每段长0.5米的，可锯成2÷0.5=4（段），需要锯2÷0.5-1=3（次） 而锯成每段长40厘米的，可以锯成2÷0.4=5（段），需要锯2÷0.4-1=4（次） 设需要x小时。 答：需要6小时。 例6 甲乙两个作业组运送同样多的货物，甲组每天运300吨，乙组每天运200吨，结果甲组比乙组提前5天完成了任务。两组各用了多少天？ 解法1：甲、乙两组运送同样多的货物，即工作总量一定。两组的工效比等于两组的工时的反比，即，甲、乙工效比是300÷200=3∶2 甲、乙的工时比为2∶3 设乙组用了x天，则甲组用了（x-5）天 300∶200=x∶（x-5） 300x-1500=200x 100x=1500 x=15 x-5=15-5=10 答：甲组用了10天，乙组用了15天。 解法2：工作总量一定则工效与工时成反比例。 设乙组用x天，则甲组用了（x-5）天 300（x-5）=200x 300x-200x=1500 100x=1500 x=15 x-5=15-5=10（天） 答：从略。 习题九 1.上海到北京的距离是1480千米，如果用1厘米表示37千米，那么地图上这两地的距离是多少厘米？ 2.有5个数的比为1∶2∶3∶4∶5，已知第五个数比第二个数大6.3。这五个数分别是多少？ 3.两地相距108千米，甲乙二人骑自行车由两城同时相向而行，4小时相遇。已知甲、乙二人骑车速度之比是4∶5。求二人每小时各行多少千米？ 体框架，并使它的长、宽、高之比为2∶1∶3。这个长方体的体积是多少？ 5.甲、乙、丙三村准备合作修筑一条公路，他们原计划按9∶8∶3派工，后因丙村不出工人，将他承担的任务请甲、乙村分担，由丙村出工资360元，结果甲村共派出45人，乙村共派出35人，完成了修路任务。问甲、乙两队各应分得丙村所付的工资多少元？ 6.3个工人5小时能生产60个零件，如果增加2名工人，再生产3小时，又可生产零件多少个？ 7.粮库内有两堆粮食，堆放粮食数量的比是3∶1，若从甲堆调到乙堆上240吨后，则甲乙两粮堆存粮数的比是3∶5，求甲、乙两堆粮食原来各有粮多少吨？ 8.甲乙两车从相距525千米的两地相向而行，经过3.5小时后还相距全程 千米？ 9.有大、小两个齿轮，它们啮合在一起。大齿轮有48个齿，小齿轮有32个齿，大齿轮每分钟转100次，问小齿轮20秒转多少次？ 10.装配自行车，3个工人2小时能装配车架11个；4个工人3小时能装配车轮20个；现有工人96人，为了使车架，车轮及时装配成车出厂，应安排装车架和车轮的工人各多少人？

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