分数和百分数相关应用题的一题多解方法有哪些？

例11 学校里买来100米电线，第一次用去全长的 ，第二次用去全长的45％，还剩下电线多少米？ 【分析1】先求出第一次用去多少米，再求第二次用去多少米，最后从电线全长里分别减去两次用的电线，即得还剩下电线的长. 【解法1】第一次用去电线多少米？ 100× =40（米） 第二次用去电线多少米？ 100×45％=45（米） 还剩下电线多少米？ 100-40-45=15（米） 综合算式：100-100× -100×45％ =100-40-45=15（米）. 【分析2】把电线全长看作整体“1”.先求剩下电线的长占全长的几分之几，再求剩下的电线长多少米. 【解法 2】剩下电线占全长的几分之几？ 1- -45％=15％ 剩下的电线长多少米？ 100×15％=15（米） 综合算式：100×（1- -45％） =100×15％=15（米）. 【分析3】先求出第一次和第二次共用去电线多少米，再用电线全长减去两次用电线和，即得还剩下多少米. 【解法3】100-（100× +100×45％） =100-（40+45） =100-85=15（米）. 【分析4】先求第一次和第二次共用去全长的几分之几，再求剩下全长的几分之几，最后求出剩下电线长多少米. 【解法4】100×[1-（ +45％）] =100×[1-85％] =100×15％=15（米）. 【分析5】先求第一次和第二次共用去全长的几分之几，再求两次共用去多少米，最后从电线全长中减去两次共用的电线长，即得还剩下电线的长. 【解法5】100-100×（ +45％） =100-100×85％ =100-85-15 答：还剩下电线15米. 【评注】以上五种解法的思路虽不同，但它们是相互转化，相互联系的.解法1和解法2、解法3和解法5可通过乘法分配律相互转化；解法1和解法3、解法2和解法4都是通过减法性质相互转化的，其中解法2和解法4是本题较好的解法. 例12 自行车厂上半年已经完成全年生产计划的 ，照这样的生产速度，今年可以超产10000辆，这个厂今年上半年生产多少辆自行车？ 【分析1】先求全年实际生产量占全年计划生产量的几分之几，再求实际产量超过全年计划的几分之几，由此可求全年计划产量，最后求上半年产量. 【解法1】全年实际完成计划几分之几？ + = 实际超过全年计划的几分之几？ -1= 全年计划生产多少辆？ 1000÷ =40000（辆） 今年上半年生产多少辆？ 40000× =25000（辆） 综合算式：10000×（ + -1）× =10000÷ × =25000（辆）. 【分析 2】把 转化为 5∶8，那么全年计划产量为8等份，上半年产量为5等份，所以全年实际产量就是10等份，超过计划2份，由此可求出每份多少辆，再求上半年的5份是多少辆. 【解法 2】10000÷（5×2-8）×5 =10000÷2×5 =5000×5=25000（辆）. 【分析3】由分析2进一步分析，10000辆和超产的（5×2-8）份相对应，而上半年产量是5份，可先求上半年产量是超产部分的几倍，再求上半年的实际产量. 【解法 3】10000×[5÷（5×2-8）] =10000×[5÷2] =10000×2.5=25000（辆）. 【分析4】由题意可知，上半年和下半年的产量是相同的.所以上半年实际产量比计划产量超产10000÷2=5000 （辆），它占全年计划产量的 ，由此可求全年计划产量，再求出上半年实际产量. 【解法 4】10000÷2÷（ ）× =10000÷2÷ × =25000（辆） 【分析5】根据“全年实际产量-全年计划产量=超产量”这一等量关系列方程解. 【解法5】设今年上半年产车x辆. x=10000÷（2- ） x=25000 【分析6】由分析2继续分析，全年实际超产量和上半年实际产量的比，等于它们相对应的份数比，由此列出比例式. 【解法6】设今年上半年产车x辆. 10000∶x=（5×2-8）∶5 10000∶x=2∶5 x=10000×5÷2 =25000 答：这个厂今年上半年生产25000辆自行车. 【评注】解法1和解法4是分数应用题的通常解法.解法2和解法3的思路简单明白，易于理解，并且计算较简便，是本题较好解法. 例13 新风电视机厂，已生产电视机2400台，比原计划少 .为使产量超过计划15％，还要生产电视机多少台？ 【分析1】先求原计划生产的台数，再求共要生产多少台，最后用共要生产的台数减去已生产的台数，即得还要生产的台数. 【解法 1】原计划生产电视多少台？ 2400÷（1- ）=3200（台） 实际共要生产电视多少台？ 3200×（1+15％）=3200×115％=3680（台） 还要生产多少台？ 3680-2400=1280（台） 综合算式：2400÷（1- ）×（1+15％）-2400 =2400÷ ×115％-2400 =3680-2400=1280（台）. 【分析2】先求出原计划生产多少台，再求还要生产的台数占原计划台数的百分之几，最后求出还要生产的台数. 【解法 2】原计划生产电视多少台 ？ 2400÷（1- ）=2400× =3200（台） 还要生产原计划的百分之几？ +15％=40％ 还要生产多少台？ 3200×40％=1280（台） 综合算式： 2400÷（1- ）×（ +15％） =2400÷ ×40％ =3200×40％=1280（台） 【分析3】用倍比解法.先求出还要生产的台数是已生产的几分之几，最后再求还要生产多少台. 【解法3】还要生产的是已产的几分之几？ （ +15％）÷（1- ）= 还要生产多少台？ 2400× =1280（台） 综合算式： 2400×[（ +15％）÷（1- ）] =2400×[40％÷ ] =2400× =1280（台）. 【分析4】把 转化为25％，那么题中的两个分率（25％和15％）的分数单位及标准都是统一的.由题意可知，已生产的2400台占100-25=75份，还要生产的台数占25+ 15=40份，由此可先求出每份是多少台，再求还要生产的40份是多少台. 【解法4】 =25％ 2400÷（100-25）×（25+15） =2400÷75×40=32×40=1280（台）。 答：还要生产电视机1280台. 【评注】解法1和解法2都是先求出标准量（计划产量），再求还要生产的台数.这两种思路最容易想到，也最好理解和掌握，但运算较繁.解法3和解法4不通过求标准量，而另辟思路求出还要生产的台数.思路直接、简明，运算简便，是本题的较好解法. 例14有一批货物，第一天运走了总数的20％，第二天运走了余下的 ，第二天比第一天多运走了195吨，这批货物原有多少吨？ 【分析1】先求第二天运走这批货的几分之几，再求出第二天运货与第一天的分率差，即195吨的对应分率.最后求这批货的原有吨数. 【解法1】第二天运走货物的几分之几？ （1-20％）× =50％ 第一天与第二天相差几分之几？ 50％-20％=30％ 这批货物原有多少吨？ 195÷30％=650（吨） 综合算式： 195÷[（1-20％）× -20％] =195÷[80％× -20％] =195÷30％=650（吨）. 【分析2】先求第二天比第一天多运了这批货的百分之几，再求这批货是它的几倍，最后求出这批货物的原有吨数. 【解法 2】第二天比第一天多运这批货的几分之几？ （ 1-20％）× -20％=30％ 这批货的总量是两天运货相差数的几倍？ 1÷30％= （倍） 这批货原有多少吨？ 195× =650（吨） 综合算式： 195× =195× =195× =650（吨）. 【分析 3】先求第二天运货与第一天运货的比，再运用归一解法求出第一天运多少吨，最后求这批货物原有多少吨. 【解法3】第二天与第一天运货的比？ （1-20％）× ∶20％=5∶2 第一天运货物多少吨？ 195÷（ 5-2）× 2=130（吨） 这批货物原有多少吨？ 130÷20％=650（吨） 【分析 4】根据“第二天运货量-第一天运货量=195吨”这一等量关系，列方程解. 【解法4】设这批货物原有x吨. （1-20％）x× -20％x=195 50％x-20％x=195 30％x=195 x=650 答：这批货物原有650吨. 【评注】解法 1是常用解法，易于理解且最容易想到，但计算较繁.解法3的思路简捷通畅，是本题较好解法. 例15 某小学四年级学生有136人，占全校学生总数的 ，五年级学生是全校学生数的18％，五年级有学生多少人？ 【分析 1】用四年级的136人除以它的对应分率 ，即得全校总人数.再乘以五年级人数的对应分率18％，即得五年级有多少人. 【解法1】全校有学生多少人？ 136÷ =850（人） 五年级有学生多少人？ 850 ×18％=153（人） 综合算式：136÷ ×18％=136× =153（人）. 【分析2】先求出四年级和五年级的人数比，再运用归一解法求出五年级的人数. 【解法 2】四年级和五年级的人数比？ ∶18％= 8∶9 五年级有学生多少人？ 136÷ 8 ×9=153（人） 综合算式：136÷（ ÷18％）=136÷ =153（人）. 【分析3】用倍比解法.把四年级人数看作“1”倍量，先求出五年级人数是四年级的几倍，再求出五年级有多少人. 【解法3】五年级人数是四年级的几倍？ 18％÷ = （倍） 五年级有学生多少人？ 136× =153（人） 综合算式： 136×（18％÷ ） =136× =153（人）. 【分析4】根据“四年级和五年级人数分别除以它们的对应分率，都等于全校人数”这一等量关系，列方程解. 【解法 4】设五年级有学生x人. 136÷ =x÷18％ 850=x÷18％ x=850×18％ x=153 答：五年级有学生153人. 【评注】解法 1和解法 3思路简单明白，易于理解和掌握，运算简便，是本题较好解法. 例16粮库有一堆稻谷，第一次运走12吨，第二次比第一次多运走 ，两次共运走这堆稻谷的60％，这堆稻谷有多少吨？ 【分析 1】先求出两次共运走多少吨，再除以它的对应分率60％，即得这堆稻谷吨数. 【解法 1】两次共运稻谷多少吨？ 12×（ 1+1+ ）=27（吨） 这堆稻谷共有多少吨？ 27÷60％=45（吨） 综合算式： 12×（1+1+ ）÷60％ =12×=45（吨）. 【分析2】用归一解法.由题意可知，第一次运的稻谷可分为4等份，第二次运了（4+1）份，由此可求出两次共运吨数.而两次运的稻谷又可分为60等份，可先求每份吨数，再求这堆稻谷（100等份）有多少吨. 【解法2】 12÷4×（4+4+1）÷60×100 =12÷4×9÷60×100=45（吨）. 【分析 3】根据“两次运稻谷吨数和等于稻谷总数的60％”这一等量关系，列方程解， 【解法3】设这堆稻谷有x吨. 12×（1+1+ ）=60％x 27=x x=45 答：这堆稻谷有45吨. 【评注】解法 1和解法 3是常用解法，其中解法 1的思路通顺，易于理解，是较好解法. 例17 水果店花去960元买进香蕉、桃子共1000千克，香蕉斤数是桃子斤数的 ，桃子单价是香蕉单价的 .求香蕉和桃子每千克价各是多少？ （湖北省天门市） 【分析 1】用1000千克除以它的对应分率（1+ ），即得桃子斤数，进一步求出香蕉斤数：600× .因为桃子单价是香蕉单价的 ，所以600千克桃子的总价相当于（600× ）千克香蕉的总价.由此可先求香蕉单价，再求桃子单价. 【解法 1】桃子有多少千克？ 1000÷（1+ ）=600（千克） 香蕉有多少千克？ 600× =400（千克） 600千克桃子的总价相当于多少千克香蕉？ 600× =400（千克） 香蕉单价是多少？ 960÷（400+400）=1.20（元） 桃子单价是多少？ 1.2× =0.80（元）. 【分析 2】运用按比例分配的方法分别求出桃子和香蕉各多少千克，再求出香蕉重量相当于桃子重量.由此可先求出桃子的单价，再求香蕉的单价. 【解法2】桃子有多少千克？ 1000× =600（千克） 香蕉有多少千克？ 1000× =400（千克） 400千克香蕉的总价相当于多少千克桃子？ 400÷ =600（千克） 桃子的单价是多少？ 960÷（600+600）=0.80（元） 香蕉的单价是多少？ 0.80÷ =1.20（元） 【分析 3】因为香蕉的重量是桃子的 ，而桃子的单价又是香蕉的 ，所以香蕉和桃子的总价是相等的.由此可先求桃子、香蕉的总价各是多少，再分别求它们的单价. 【解法3】香蕉或桃子的总价是多少？ 960÷2=480（元） 桃子有多少千克？ 1000÷（ 2+3）×3=600（千克） 香蕉有多少千克？ 1000÷（2+3）×2=400（千克） 香蕉单价是多少？ 480÷400=1.20（元） 桃子单价是多少？ 480÷600=0.80（元） 综合算式：桃子： 960÷2÷[1000÷（2+3）×3] =960÷2÷600=0.80（元） 香蕉：0.80÷ =1.20（元）. 答：桃每千克0.80元，香蕉每千克1.20元. 【评注】解法1和解法2是以总价为定量，使香蕉和桃子的重量作等价转换，求出它们的单价，以上这三种解法各有特点，解法1是运用一般的分数应用题的解法，解法2是运用按比例分配的方法，解法3运用的是归一应用题的解法.其中解法3的思路最简捷，运算最简便，是本题的最佳解法. 例18 某校图书室，藏有一批图书，其中连环画比故事书多48本，两种书被同学们各借走12本后，余下连环画本数的 等于故事书本数的 .图书室有连环画多少本？ 【分析1】两种书各借走12本后，仍相差48本.因为余下连环画本数的 等于余下故事书的 ，根据比例的基本性质可求出两种书余下本数的比，从而求出48本对应的份数，进一步求出连环画余下本数，再加上借走的本数即得原有本数. 【解法1】因为余下连环画本数× =余下故事书本数× ，所以余下连环画本数∶余下故事书本数 = ∶ =7∶5 余下连环画有多少本？ 48÷（7-5）×7=168（本） 连环画原有多少本？ 168+12=180（本）. 【分析2】因为余下连环画本数的 等于余下故事书的 ，所以余下故事书的本数恰是3个 .把余下连环画本数看作标准“1”，求出48本的对应分率，即可求出余下连环画的本数，再求连环画原有的本数. 【解法2】余下故事书是余下连环画的几分之几？ ×3= 余下的连环画有多少本？ 48÷（1- ）=168（本） 连环画原有多少本？ 168+12=180（本） 综合算式： 48÷（1- ×3）+12 =48÷ +12=168+12=180（本）. 【分析3】把余下连环画本数的 看作标准“1”，那么余下连环画的本数是这个标准的 倍，余下故事书的本数是这个标准的 倍.由此可求出48本的对应倍数（ - ），再求出1倍是多少本，乘以 即得余下连环画的本数，最后加上借走的12本，即得连环画原有本数. 【解法3】48÷（ - ）× +12 =48÷ × +12=168+12=180（本）. 【分析4】根据分数基本性质把 转化为 ，那么余下故事书可分为15等份，余下连环画可分为21等份，它们相差6份（21-15），由此可求每等份多少本，再求出连环画原有本数. 【解法4】把 和 的分子统一， = ，并且 和 表示相同的本数. 余下连环画和余下故事书相差几等份？ 21-15=6（份） 余下连环画有多少本？ 48÷6×21=168（本） 连环画原有多少本？ 168+12=180（本）. 【分析5】根据“余下连环画本数的 等于余下故事书本数的 ”这一等量列方程. 【解法5】设连环画原有x本. （x-12）× =（x-48-12）× x-12=（x-60）× × x-12= -84 -x=84-12 x-180 答：图书室有连环画180本. 【评注】解法 1是运用比例基本性质求出两种书的本数比，进而寻找解题思路；解法3是把两书相等部分看作“1”，从而找出倍数差，进一步使问题得解；解法4是运用分数基本性质找出两种书的份数差，使问题得解，解法5是列方程求解.尽管这四种解法的思路灵活、新颖，但运算都较繁；而解法2的思路简单，运算简便，是本题最佳解法. 例19 有一池水，第一天放出60吨，第二天放出65吨，剩下的水比原来这池水的 少5吨，原来水池有多少吨水？ 【分析 1】从前两天放水总吨数里减去 5吨，所得的差恰好占原来这池水的（1- ），由此可求原来水池有水多少吨. 【解法 1】 （60+65-5）÷（ 1- ） ＝120÷ =160（吨）. 【分析 2】由题意可知，原来水池的水可分为 4等份，前两天放水的和减去5吨，所得差恰好占3份（4-1）.由此可先求每份的水，再求4份的水，即原水池的水. 【解法 2】 （60+65-5）÷（4-1）×4 =120÷3×4=40×4=160（吨）. 【分析3】根据“剩下的水比原来这池水的 少5吨”这一等量关系，列方程解. 【解法3】设原来水池有水x吨. x-60-65= x-5 x-125= x-5 x- x=125-5 x=160 答：原来水池有160吨水. 【评注】解法1是常用解法，关键是找出对应数与对应分率.解法2是归一解法，关键是“减去5吨”.比较以上三种解法，解法1思路简单通顺，运算简便，是本题较好解法.

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