邮票问题有哪些？

邮票问题

本题取材于ICPC(世界赛)95E题

【问题描述】

给定一个信封,最多只允许粘贴N(N<=100)张邮票,我们现在有m(m<=100)种邮票,面值分别为:x1,x2,…….xm分(xi<=255,为正整数),并假设各种邮票都有足够多张.

要求计算所能获得的邮资最大范围,即求最大值MAX,使在1—MAX之间的每一个邮资值都能得到.

例如:N=4,有2种邮票,面值分别为1分,4分,于是可以得到1----10分,和12分,13分,16分的邮资,由于不能得到11分和15分,所有邮资的最大范围是MAX=10.

【样例输入】

从键盘输入一个文本文件的文件名,该文件第1行为最多粘贴的邮票数N;第2行为邮票种数m,以下m行各有一个数字,表示邮票的面值xi.如:

输入:

4

2

1

4

【样例输出】

1. 若最大范围为空,则在屏幕上输出MAX=0

2. 若最大范围不为空,则把结果输出到屏幕上.

输出:

MAX=10.

【算法分析】

本题可以看成是一个集合问题,即求在贴的邮票不多于n张的可满足条件的邮资集.集合问题的关键在于判定元素是否在集合中,对于本题而言,是判断某个邮资是否在贴不多于n张邮票可满足.这个判断问题可以用递归的方法解决.设当前考虑的邮资值为max,最多允许贴n张邮票,记为(max,n).如果首先贴一张面值为xi的邮票,那么剩下的问题是(max-xi,n-1)的问题.如果(max-xi,n-1)可解,那么(max,n)问题也可解.

进一步, 这个递归的算法可以转化为递推的算法来解决.设piece[value]表示邮资为value时所需最少的邮票数, pieces[MAX]=min{pieces[MAX-x[i]]+1}.当pices[value]<=n时,问题(max,n)可解,否则无解.

递推算法可以描述为:

for(i=1;i<=m;i++) if( MAX-x[i]>=0)

{

if(pieces[MAX]==0)

pieces[MAX]=pieces[MAX-x[i]]+1;

if(pieces[MAX]>pieces[MAX-x[i]]+1)

pieces[MAX]=pieces[MAX-x[i]]+1;

}

例程:

#include<iostream>

#include<cstring>

using namespace std;

int main()

{

int x[256];//各种邮票的面值

int pieces[30001];// 邮资为value时所需最少的邮票数,

int i,j,m,n,MAX;

while(cin>>n>>m)

{

for(i=1;i<=m;i++)

cin>>x[i];

memset(pieces,0,sizeof(pieces));

MAX=0;

while(1)

{

MAX++;//计算邮资为MAX最少需要的邮票张数

for(i=1;i<=m;i++)

if( MAX-x[i]>=0)

{

if(pieces[MAX]==0)

pieces[MAX]=pieces[MAX-x[i]]+1;

if(pieces[MAX]>pieces[MAX-x[i]]+1)

pieces[MAX]=pieces[MAX-x[i]]+1;

}

//判断所需最少邮票张数是否超过n张

if(pieces[MAX]==0||pieces[MAX]>n)

{

cout<<"MAX="<<MAX-1<<endl;

break;

}

}

}

return 0;

}