在二值图像中检测圆的办法

我们先看这样一个问题：设已知一黑白图像上画了一条直线，要求出这条直线所在的位置
。我们知道，直线的方程可以用y=k*x+b来表示，其中k和b是参数，分别是斜率和截距。过某一点
(x0,y0)的所有直线的参数都会满足方程y0=kx0+b。即点(x0,y0)确定了一族直线。方程y0=kx0+b在
参数k--b平面上是一条直线，(你也可以是方程b=-x0*k+y0对应的直线)。这样，图像x--y平面上的
一个前景像素点就对应到参数平面上的一条直线。我们举个例子说明解决前面那个问题的原理。设
图像上的直线是y=x,我们先取上面的三个点：A(0,0),B(1,1),C(22)。可以求出，过A点的直线
的参数要满足方程b=0,过B点的直线的参数要满足方程1=k+b,过C点的直线的参数要满足方程
2=2k+b,这三个方程就对应着参数平面上的三条直线，而这三条直线会相交于一点(k=1,b=0)。同
理，原图像上直线y=x上的其它点(如(3,3),(4,4)等)对应参数平面上的直线也会通过点(k=1,b=0)
。这个性质就为我们解决问题提供了方法：

首先，我们初始化一块缓冲区，对应于参数平面，将其所有数据置为0.

对于图像上每一前景点，求出参数平面对应的直线，把这直线上的所有点的值都加１。

最后，找到参数平面上最大点的位置，这个位置就是原图像上直线的参数。

上面就是霍夫变换的基本思想。就是把图像平面上的点对应到参数平面上的线，最后通过
统计特性来解决问题。假如图像平面上有两条直线，那么最终在参数平面上就会看到两个峰值点，
依此类推。

在实际应用中，y=k*x+b形式的直线方程没有办法表示x=c形式的直线(这时候，直线的斜
率为无穷大)。所以实际应用中，是采用参数方程p=x*cos(theta)+y*sin(theta)。这样，图像平面
上的一个点就对应到参数p---theta平面上的一条曲线上。其它的还是一样。

在看下面一个问题：我们要从一副图像中检测出半径以知的圆形来。这个问题比前一个还
要直观。我们可以取和图像平面一样的参数平面，以图像上每一个前景点为圆心，以已知的半径在
参数平面上画圆，并把结果进行累加。最后找出参数平面上的峰值点，这个位置就对应了图像上的
圆心。在这个问题里，图像平面上的每一点对应到参数平面上的一个圆。

把上面的问题改一下，假如我们不知道半径的值，而要找出图像上的圆来。这样，一个办
法是把参数平面扩大称为三维空间。就是说，参数空间变为x--y--R三维，对应圆的圆心和半径。
图像平面上的每一点就对应于参数空间中每个半径下的一个圆，这实际上是一个圆锥。最后当然还
是找参数空间中的峰值点。不过，这个方法显然需要大量的内存，运行速度也会是很大问题。

有什么更好的方法么?我们前面假定的图像都是黑白图像(2值图像)，实际上这些2值图像
多是彩色或灰度图像通过边缘提取来的。我们前面提到过，图像边缘除了位置信息，还有方向信息
也很重要，这里就用上了。根据圆的性质，圆的半径一定在垂直于圆的切线的直线上，也就是说，
在圆上任意一点的法线上。这样，解决上面的问题，我们仍采用2维的参数空间，对于图像上的每
一前景点，加上它的方向信息，都可以确定出一条直线，圆的圆心就在这条直线上。这样一来，问
题就会简单了许多。

接下来还有许多类似的问题，如检测出椭圆，正方形，长方形，圆弧等等。这些方法大都
类似，关键就是需要熟悉这些几何形状的数学性质。霍夫变换的应用是很广泛的，比如我们要做一
个支票识别的任务，假设支票上肯定有一个红颜色的方形印章，我们可以通过霍夫变换来对这个印
章进行快速定位，在配合其它手段进行其它处理。霍夫变换由于不受图像旋转的影响，所以很容易
的可以用来进行定位。

霍夫变换有许多改进方法，一个比较重要的概念是广义霍夫变换，它是针对所有曲线的，
用处也很大。就是针对直线的霍夫变换也有很多改进算法，比如前面的方法我们没有考虑图像上的
这一直线上的点是否连续的问题，这些都要随着应用的不同而有优化的方法。

顺便说一句，搞图像处理这一行，在理论方面，有几本杂志是要看的，自然是英文杂志，
中文期刊好象没有专门的图像处理期刊，当然也有不少涉及这方面的期刊，但事实求是来说，的确
比英文杂志水平差很多。

‘IEEETransactionsonPatternAndMachineIntelligence’
‘IEEETransactionsonImageProcessing’

是最重要的两本，其它的如ICIP等的会议文章也非常好。不过，要不想很偏理论，
这些玩艺儿也没什么要看的。